偏导概念的引入
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。
在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。
在 $xOy$ 平面内，当动点由 $P(x0,y0)$ 沿不同方向变化时，函数 $f(x,y)$ 的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究 $f(x,y)$ 在 $(x0,y0)$ 点处沿不同方向的变化率。
偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。
——以上内容摘自百度百科
举例
求 $z=x^2-2xy+y^3$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$
- 步骤一：用题中表达式进行替换
- 步骤二：把其他字母看成常数
- 步骤三：求导
$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial (x^2-2xy+y^3)}{\partial x}=2x-2y$ 即 $\frac{\partial (x^2-2xa+a^3)}{\partial x}=2x-2a$
$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial (x^2-2xy+y^3)}{\partial y}=-2x+3y^2$ 即 $\frac{\partial (a^2-2ay+y^3)}{\partial y}=-2a+3y^2$
应用
由于偏导数属于高等数学，本文仅简单说明其在高中不等式解题中的应用思路。
（2011·浙江理）设 $x,y$ 为实数，若 $4x^2+y^2+xy=1$ ，则 $2x+y$ 的最大值是 __ 。
设 $f(x,y,\lambda)=2x+y+\lambda(4x^2+y^2+xy-1)$
由 $4x^2+y^2+xy=1$ 知 $4x^2+y^2+xy-1=0$
所以 $f(x,y,\lambda)=2x+y+\lambda(4x^2+y^2+xy-1)=2x+y+\lambda ·0=2x+y$ ，跟线性规划一致，可将 $f(x,y,\lambda)$ 看作目标函数。其中 $\lambda$ 可以看成是目标 $2x+y$ 在约束条件 $4x^2+y^2+xy-1=0$ 下可自由伸缩的空间。
一般地：在约束条件 $h(x,y)=0$ 下，求 $g(x,y)$ 的最值问题，可以令 $f(x,y,\lambda)=g(x,y)+\lambda ·h(x,y)$
得方程组$\begin{cases} \large{\frac{\partial f(x,y,\lambda)}{\partial x}=2+\lambda(8x+y)=0} \\ \\ \large{\frac{\partial f(x,y,\lambda)}{\partial y}=1+\lambda(2y+x)=0} \\ \\ \large{4x^2+y^2+xy=1} \end{cases}$
一般地，$\begin{cases} \large{\frac{\partial f(x,y,\lambda)}{\partial x}=0} \\ \\ \large{\frac{\partial f(x,y,\lambda)}{\partial y}=0} \\ \\ \large{h(x,y)=0} \end{cases}$
消元解得唯一解 $2x=y=\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，此时 $2x+y$ 取得最大值 $\frac{2\sqrt{10}}{5}$